基底の定義
\(\mathcal{B}\)が\(X\)の位相\(\mathcal{O}\)の基底であるとは、以下の条件を満たすもの。
(1)\(\mathcal{B}\subset \mathcal{O}\)
(2)\(^{\forall}B_1,B_2\in \mathcal{B}\)について\(B_1\cap B_2 \in \mathcal{B}\)
(3)\(]^{\forall} O \in \mathcal{O}\)について\(\exists \{B_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda} \subset \mathcal{B} \hspace{2mm}s.t.\hspace{2mm}O=\cup_{\lambda \in \Lambda}B_\lambda\)
あらすじ
位相(実数)のところで全体集合を\(\mathbb{R}\)とし次のような\(\mathcal{O}\)を考えた。
これは位相の条件(3)に引っ掛かり、位相になることはできなかった。(詳しくは位相(実数))
そして基底として確認したが、その時の位相は何か問題に衝突した。(詳しくは基底(位相における))
今回は基底から生成される位相は一意であるかという問題に踏み込む。
基底の一意性の証明
\(\mathcal{O}=\{(a,b)|a,b\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\},\hspace{3mm }a\leq b\}\)と今まで記述してきたが、
もうこれは位相ではないことは明らかで今から基底としてのチェックをするため、
\(\mathcal{B}=\{(a,b)|a,b\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\},\hspace{3mm }a\leq b\}\)と改める。
さて、ここで確認したいことは基底によって生成される位相の一意性だ。
これを数学語に訳すと「\(\mathcal{B}\)から生成される位相\(\mathcal{O}\)と\(\mathcal{O}’\)は\(\mathcal{O}\)=\(\mathcal{O}’\)となる。」
集合族も集合の等号を示すような方針をたてる。
集合\(A,B\)について\(A=B\)を示す時のよく使われる方法。
(1)\(A\subset B\)を示す。
すなわち\(^{\forall}a\in A\)について\(a\in B\)を示す。
(2)\(A\supset B\)を示す。
(1)(2)より、両方の包含が成り立つにはA=Bしかないよね。という手法。
(証明)
(1)\(\mathcal{O} \subset \mathcal{O}’\)を示す。
\(^{\forall}O\in \mathcal{O}\)について基底の定義(3)より、\(\exists \{B_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset\mathcal{B}\hspace{2mm}s.t.\hspace{2mm}O=\cup_{\lambda \in \Lambda}B_\lambda \)
さて基底の定義(1)より、\(\{B_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset\mathcal{B} \subset \mathcal{O}’\)
となる。
また、位相の定義(3)から\( \cup_{\lambda \in \Lambda}B_\lambda \mathcal{O’}\)
(位相の定義(3)は位相から好きなだけ開集合をとり和集合を作っても位相に入ることが主張。)
よって\(\mathcal{O} \subset \mathcal{O}’\)となる。
(2)も同様にして\(\mathcal{O} \supset \mathcal{O}’\)
よって\(\mathcal{O}\)=\(\mathcal{O}’\)
したがって基底によって生成される位相は一意である。
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