粗幾何学 粗幾何学とは何か？
学部1,2年生の頃に位相空間という概念を習う．これは距離空間から「各点の近傍を考える」という部分を一般化したものとして捉えることができる．それに対し，粗幾何学では「一様近傍を考える」という部分を一般化したものとして捉えられる．今回はその粗空間を定義する．
粗幾何学 平面幾何学 圏論における核と像
大学生の数学では，集合論や位相を学ぶ．このときに集合と写像を用いて議論を進めていた．これに対し，圏論は写像のような「射」と呼ばれるものを中心として議論が展開される．
すなわち集合の中身の話はせずに，「射」だけに着目しようという考え方だ．今回はその例として核と像を取り扱う．
位相幾何学 【質問】位相の表記について
位相の表記について質問をいただきました．位相空間論では開集合のOと位相のOの表記が違うというところを省略して説明してしまったため，混乱を招くとのご指摘をいただきました．ありがとうございます．
高校数学 sinを微分するとなぜcosなの？
私は高校生の時にこの事実を数学より先に物理で知ったことを覚えている。sin を微分するとcos になり、cos を微分すると-sinになる。
符号が逆転してループすると知った時に、微分と三角関数の関係はめちゃめちゃ綺麗だなぁと思った。今回はその重要な部分を説明する。
位相幾何学 基本群はなぜ群になるのか？
はじめに
基本群の定義は以下のようなものであった．(詳しくは基本群とは何か？)
基本群
を位相空間とする。
について の基本群とは
のことである．
ざっくり言うと「基本群の元はループ．...
位相幾何学 そもそも基本群をなぜ考えるのか？
基本群の説明を前回の「基本群とは何か？」という記事で説明した．今回はそもそもなぜ基本群を考えるのか？というテーマで解説する．「数学って何の役に立つの？」という言葉は聞き飽きるほど聞いてきたが，その裏側にはきっと「モチベーションを高めたい」という意識があるのではないだろうか．今回基本群をなぜ考えるのかというテーマで基本群を勉強するモチベーションを高めることができたら幸いである．
位相幾何学 基本群とは何か？
基本群とは何かという定義を直観的に説明する．厳密な定義よりもまずは直観をしっかり掴んでから厳密な定義に向き合うことでより理解が深まるという思いから投稿した．今後としては基本群はどうして群になるのか，そもそも基本群をなぜ考えるのかなどの疑問に答えていく．
平面幾何学 C^k級とは何か?
C^k級とは何かという定義とその意味を解説する。まず1変数関数のC^k級を定義する。その後多変数の微分をどのように考えれば良いかという話にうつる。そのことを踏まえた上で多変数関数のC^k級について定義する。解説は直観的な説明となっている。
平面幾何学 複素数とは何か?(視覚的に)
この記事は「複素数とは何か？」という問いに対して視覚的に答えてみようとしたものだ。そのため厳密にはもっと議論すべきことがあるのだが、そこをすっ飛ばしてとりあえず概観を掴んでみようとする方に読んでいただきたい。
集合論 ベルンシュタインの定理
今回は濃度の等号関係を示すのにすごく便利なベルンシュタインの定理について証明する。ベルンシュタインの定理は集合が濃度が等しい2つの集合により包含関係で挟み撃ちにされているならば、その集合も濃度が等しくなるという主張である。直感的に明らかだが、証明はそう簡単にはいかない。