2021-06

はじめに 集合論と題して、集合の要素の個数という概念を一般化した濃度について学んできた。 今まで驚くべき事実と無限の恐ろしさについて触れてきた。 例えば、自然数と整数の個数が一緒だったり、自然数と有理数の個数が一緒という...

今回は自然数と実数の濃度はどういう関係かを考察する。今までに自然数と整数、自然数と有理数は濃度が一緒という驚くべき事実を手に入れた。そうすると全ての数の無限集合は自然数と一緒なのではないかと思えてくる。そんなことを思いながら自然数と実数の濃度についてみていく。

今回は自然数と有理数の濃度について考察する。前回は自然数と整数の濃度について考察すると、自然数と整数の濃度が等しいという直観からすると衝撃の事実を手に入れた。濃度は集合の包含関係ではなく全単射が存在するかによって決まるので、直観と大きく異なることがある。

前回、無限個の集合の大小比較をするために濃度というものを定義した。濃度というものは集合の包含関係ではなく、全単射で定義していたことが最重要事項でかつ勘違いしやすいポイントだった。今回はそれを用いて自然数と整数の濃度が等しいという驚くべき事実を証明する。