位相空間に色々な概念を引き継いできた。(連続、部分空間、内部など。)
これをハウスドルフ空間で考えたらどうなるだろうというのが、今回のテーマ。
定義のおさらい
ハウスドルフ空間の定義は以下のようであった。(詳しくは ハウスドルフ空間)
\((X,\mathcal{O})\)を位相空間とする。
\((X,\mathcal{O})\)がハウスドルフ空間であるとは以下の条件を満たすこと。
\(^{\forall}x_1,x_2 \in X (x_1 \neq x_2)\hspace{2mm} ^{\exists} O_1,O_2 \in \mathcal{O} \hspace{2mm}s.t.\hspace{2mm}x_1 \in O_1 ,x_2 \in O_2 ,\hspace{2mm}O_1 \cap O_2 = \emptyset\)ハウスドルフ空間の連続性
位相空間の連続性は以下のようであった。(詳しくは位相における連続)
\((X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y)\)をどちらも位相空間とする。
写像\(f:X \rightarrow Y\)が連続であるとは、以下の条件を満たすこと。
\(^{\forall}O_Y \in \mathcal{O}_Y\)について\(^{\exists}O_X \in \mathcal{O}_X \hspace{2mm}s.t.\hspace{2mm}f^{-1}(O_Y)=O_X\)
では、\((X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y)\)について写像\(f:X \rightarrow Y\)が連続である時、
\((Y,\mathcal{O}_Y)\hspace{2mm}\)がハウスドルフならば\(\hspace{2mm}(X,\mathcal{O}_X)\hspace{2mm}\)もハウスドルフなのだろうか。
残念ながらそうではない。例えば以下のような例を考えるとわかる。
\((X,\mathcal{O}_X)\)を\(X=\{あ,い,う\},\mathcal{O}_X=\{\emptyset ,X , \{あ,い\},\{う\}\}\)と定める。
\((Y,\mathcal{O}_Y)\)を\(Y=\{A,B\},\mathcal{O}_Y\)を離散位相と定める。
写像\(f:X \rightarrow Y\)を\(f(あ)=f(い)=A,f(う)=B\)とする。
やることは以下の4つである。
1.\(\mathcal{O}_X\)が位相になっているかのチェック。
2.\(f\)が連続であることのチェック。
3.\((Y,\mathcal{O}_Y)\)がハウスドルフ空間であることのチェック。
4.\((X,\mathcal{O}_X)\)がハウスドルフ空間でないことのチェック。
この4つを満たしておけば「\((X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y)\)について写像\(f:X \rightarrow Y\)が連続である時、
\((Y,\mathcal{O}_Y)\hspace{2mm}\)がハウスドルフならば\(\hspace{2mm}(X,\mathcal{O}_X)\hspace{2mm}\)もハウスドルフである」という命題の反例となる。
早速示していく。
1.\(\mathcal{O}_X\)が位相になっているかのチェック
位相のチェックは3つのことを確認すればよかった。(詳しくは位相)
\(X=\{あ,い,う\},\mathcal{O}_X=\{\emptyset ,X , \{あ,い\},\{う\}\}\)より、空集合と全体集合は含んでいる。
次は2つの交わりが位相に含まれていることのチェックだが、空集合と全体集合は自明だった。
だから、チェックするのは\(\{あ,い\} \cap \{う\}\)のみだが、\(\{あ,い\} \cap \{う\} = \emptyset \)となりOK.
次は好きな個数とってきて和集合になることのチェックだが、空集合は加えても結果が変わらず、全体集合は加えると結果が全体集合になるので2つを除いてチェックしてもOK.
だから、チェックするのは\(\{あ,い\} \cup \{う\}\)のみだが、\(\{あ,い\} \cup \{う\}=X \)となりOK.
2.\(f\)が連続であることのチェック。
連続であるかどうかは、行先の開集合どれを選んでも戻したら開集合になることであった。
(詳しくは連続)
さて\(Y\)の位相は離散位相であるから、\(\emptyset ,Y,\{A\},\{B\}\)の4つが開集合。
\(f^{-1}(\emptyset )=\emptyset ,f^{-1}(Y)=X\)は自明であり、OK.
\(f^{-1}(\{A\})=\{あ,い\},f^{-1}(\{B\})=\{う\}\)でありどちらも\(\mathcal{O}_X\)の要素なのでOK.
これよりfは連続であることがチェックできた。
3.\((Y,\mathcal{O}_Y)\)がハウスドルフ空間であることのチェック。
ハウスドルフ空間であるかどうかは
「まず、集合\(X\)から好きに異なる2点\(x_1,x_2\)をとってくる。
それぞれの点を含む開集合\(O_1,O_2\)を上手いように持ってくると、その開集合同士が交わりがない」
ことをチェックすればよかった。
好きなようにといっても、今回は\(Y=\{A,B\}\)だから、AとBしか考えられない。
また、離散位相であるから、1点集合\(\{A\},\{B\}\)は開集合となる。
よって交わりがない開集合をとることができた。
したがって\((Y,\mathcal{O}_Y)\)はハウスドルフ空間である。
4.\((X,\mathcal{O}_X)\)がハウスドルフ空間でないことのチェック。
今回は\(X\)からあ,いをとってくる。
\(\mathcal{O}_X=\{\emptyset ,X , \{あ,い\},\{う\}\}\)であるからどんだけ頑張っても
あ,いは交わりを持たないように開集合をとることができない。
よって.\((X,\mathcal{O}_X)\)はハウスドルフ空間でない。
おまけ
これにより\((X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y)\)について写像\(f:X \rightarrow Y\)が連続である時、
\((Y,\mathcal{O}_Y)\hspace{2mm}\)がハウスドルフならば\(\hspace{2mm}(X,\mathcal{O}_X)\hspace{2mm}\)もハウスドルフではないことがわかった。
しかし、ある条件を加えると、連続の関係でハウスドルフが受け継がれる。
その条件が何かというのを次回はみていく。
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