自然数と整数の濃度

はじめに

私たちは有限個の集合同士の比較として個数という概念を用いる。
前回、無限個の集合同士の比較には濃度を用いることを説明した。(詳しくはこちら)

今回は実際に無限個の集合を濃度を用いて比較していく。

濃度の復習

濃度が等しいとは、AとBが対等であるという条件が必要だった。

このように1つでも全単射という架け橋があれば、AとBの濃度は一緒とするという定義だった。

だから2つの集合の濃度が等しいことを示すには、全単射を一つ見つければよい。

自然数と濃度が等しい例

まず、自然数と0以上の奇数の濃度はどうだろうか。

A君のような直観を持つ人は多いだろう。
理由としては自然数全体の集合が0以上の奇数全体の集合を含んでいるからだと言いたくなる。

しかしながら、濃度は集合の包含関係ではなく、全単射の存在で定義している。
この集合の包含関係という直観と異なるために誤解を招きやすいのだが、
濃度の話をする時には全単射が1つでも存在するかどうかに全てがかかっているのだ。

そのため、このような直観をかなぐり捨てて、全単射の探索に取り掛かる。

これ以降、自然数全体の集合を\(\mathbb{N}\)、0以上の奇数全体の集合を\(\mathbb{K}\)とする。

探してみると\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{K} \hspace{3mm}(n \mapsto 2n-1)\)という全単射が見つかる。
この\(f\)は\(f(1)=1,f(2)=3,f(3)=5,\cdots \)となる写像である。
これより自然数全体の集合と0以上の奇数全体の集合は濃度が等しいことがわかる。

次に衝撃的な対等の濃度を発見する。

自然数と整数

実は自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)の濃度と整数全体の集合\(\mathbb{Z}\)の濃度は一致する。
多分世間一般で「自然数と整数は個数が同じだよね。」というと「なわけ。」と一蹴されるだろう。

しかし数学の世界では濃度が等しいということが一般に知られている。

そういうA君の根拠はおそらく整数が自然数を含むからだということだと思われる。
しかしながら数学の濃度の前ではそのような直観は儚く散ってしまう。

何度も言うが、濃度の話をする時には全単射が1つでも存在するかどうかに全てがかかっている。

そのためこのような直観をかなぐり捨てて全単射の探索に取り掛かる。

そうすると\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \)を次のように定める。

\(f(1)=0,f(2)=1,f(3)=-1,f(4)=2,f(5)=-2,\cdots,f(2m)=m,f(2m+1)=-m,\cdots \)と定める。

ざっくり言うと、0からピンポン球のように交互に振りわけていくイメージだ。

こうするとfが全単射であることがわかる。

これにより、自然数と整数は濃度が等しいと言う驚くべき事実が証明された。

終わりに

今回は全単射という説明を直観に任せているが、興味の湧く方は証明してみていただきたい。

\(f:X\rightarrow Y\)が全射であることの証明は\(\forall y \in Y \exists x \in X \hspace{3mm} s.t. \hspace{3mm} f(x)=y\)となることである。

ざっくりいうと、「どんなyもxという誰かの行き先になっている。」と言えたら全射である。

また\(f:X\rightarrow Y\)が単射であることの証明は\(\forall a,b \in X(a \neq b)\)について\(f(a) \neq f(b)\)

ざっくりいうと、「違うものの行き先も違う。」といえたら単射である。

今回の例はどちらとも定義に従って単射であることと全射であることは示せるので、

興味の湧くかたはぜひトライしていただきたい。

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