自然数と実数の濃度

はじめに

今まで自然数と整数、自然数と有理数の濃度について驚くべき事実を確認してきた。
(詳しくは,自然数と整数の濃度,自然数と有理数の濃度)

誤解を恐れずにいうと、自然数も整数も有理数も全部個数は一緒だったのだ。

そこまでいくと、ある疑問が湧いてくる。

「自然数も整数も有理数も全部個数が一緒なら、あらゆる数の無限集合は全部一緒なんじゃ…？」

今回はこのような疑問を持ちながら、実数について考えていく.

濃度の復習

同値類や対等という言葉が出てきて、やめたくなるかもしれない。

しかしながら一番覚えていて欲しいところは
「集合同士に全単射が1つであれば、その濃度は一緒です」という決め事である。

私たちは集合の包含関係(例:自然数は整数に含まれている)で個数を見がちだが、
数学では個数の一般化である濃度は全単射の存在で定めている。

その感覚と異なる定義なのだということを前提に実数の濃度を比較していく。

実数の濃度

今までは自然数を用いて-と0というものを加えて整数が生まれ、分数から有理数が生まれた。

今回の実数は\(\sqrt{2}\)や\(^3\sqrt{2}\)などの何乗根という数が入ってくる。

またこれに加え\(\pi ,e\)なども追加される。

そうすると、「どうやって全単射を見つけよう。全単射などないのでは？」と感じる。

実はこの直観は正しくて、自然数と実数は濃度が違う。

しかしながら全単射がないことの証明、一般化してないことの証明は存在を示すことより難しい。

なぜなら「どんな写像をもってきても全単射でない」ということを証明しないといけないからだ。

今までのように「1つ全単射を見つけてきたよ」という感覚で「1つ全単射でないの見つけたよ。」
と主張しても全然証明になっておらず、全てに対して否定しなければならないのだ。

そのことを意識すると、証明の一手目は好きに写像を1つ取ってくることだ。
これが全単射でないことを言えば、好きに取ったのでどんな写像も全単射でないことが言える。

以下に証明を書く。

証明のキーポイントは実数は無限小数でかけるということだ。

実数の濃度　証明

任意に写像\(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\)を考える.

これが全単射でないことを示すために、全射でないことを示す。

全単射でないことを示すためには
\(a\in \mathbb{R}\)が存在して,任意の\(n\in \mathbb{N}\)に対して\(f(n)\neq a\)だと示せば良い。

ざっくりいうと、誰にも選ばれていない\(a\)を見つければいい。

さて、無限小数aを次のように作る。

1.f(n)の小数第n位を見る. 　2.それが1だったらaの小数第n位を0,それ以外なら1を設定する。

私の手書きで申し訳ないが、以下に具体例をかく。

このようにすると、aはf(1)でもf(2)でもf(3)でも…ないことがわかる。

全てを避けて作ったaは実数ではあるが誰にも指名されないものである。

これによって\(f\)が全単射でないことを証明できた。

従って、自然数の濃度は実数の濃度と異なることがわかった。

終わりに

今回初めて自然数と濃度が違うものを見つけた。

では、複素数はどうなのか、実数より濃度が大きいものがあるのかという疑問が湧く。

実際に自分で探ってみていただきたい。

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