結合幾何(incidence geometry)

平面幾何学

2021.03.03 2020.12.22

結合幾何

\((\mathcal{P},\mathcal{L})\)が結合幾何であるとは(1)~(3)の3つの条件を満たすもの。

(1)\(\hspace{3mm}^{\forall}l \in \mathcal{L}\)について,\(|l| \geq 2\)

(2)\(^{\forall} P,Q \in \mathcal{P}\hspace{2mm}(P \neq Q) \hspace{2mm} ^{\exists_1}l \in \mathcal{L} \hspace{2mm}s.t.\hspace{2mm}P \in l \)かつ\(Q\in l\)

(3)\(^{\forall}l \in \mathcal{L}\hspace{2mm} ^{\exists}P \in \mathcal{P} \hspace{2mm}s.t.\hspace{2mm} P \notin l\)

平面幾何の抽象幾何よりルールが厳しい。今回も定義を順にみていく。

定義の一文目

\((\mathcal{P},\mathcal{L})\)が結合幾何であるとは\(　\cdots　\)

抽象幾何でも書いたが、もう一度\(　(\mathcal{P},\mathcal{L})　\)について言及する。

まず\(　(\mathcal{P},\mathcal{L})　\)についてだが、集合\(\mathcal{P}\)は平面とよび、その要素を点とよぶ。
そして平面の中から点をいくつかチョイスして、直線 \(l\)をつくる。(\(l \subset \mathcal{P} \))。

その直線\(l\)をかき集めてきたものが、集合族\(\mathcal{L}\)となる。

条件(1)

(1)\(^{\forall}l \in \mathcal{L}\hspace{2mm} |l| \geq 2\)

抽象幾何の(3)と同じ。「どんな直線も2点以上用意してくださいね。」という意味。

直線は無限個の点でできているというイメージがあるが、結合幾何では2つの点で良い。

ここで、抽象幾何の条件(1)と比較する。(抽象幾何についてはここから。)

抽象幾何
(1)\(\hspace{3mm}|\mathcal{P}|\geq 2\)

\(l \subset \mathcal{P} \)を踏まえると、抽象幾何より条件が厳しいことがわかる。

条件(2)

(2)\(^{\forall} P,Q \in \mathcal{P} \hspace{2mm}(P \neq Q)\hspace{2mm} ^{\exists_1}l \in \mathcal{L} \hspace{2mm}s.t.\hspace{2mm}P \in l \)\(かつQ\in l\)

今回は意味を確認する前に抽象幾何の条件(2)と比較する。(抽象幾何についてはここから。)

抽象幾何
\(\hspace{3mm}^{\forall} P,Q \in \mathcal{P} \hspace{2mm}(P \neq Q) \hspace{3mm}^{\exists} l \in \mathcal{L} \hspace{3mm}s.t. \hspace{3mm}P \in l\hspace{2mm} \)かつ\(\hspace{2mm}Q \in l\)

「平面のどの2点をとってきてもその2点を通る直線が引ける。」という意味。

一見すると何が違うの？と言いたくなるが、\(^{\exists}\)と\(^{\exists_1}\)が違う。

抽象幾何が「平面のどの2点をとってきてもその2点を通る直線が引ける。」という意味に対し、
結合幾何は「平面のどの2点をとってきてもその2点を通る直線がただ一つ引ける」という意味。

このことを踏まえると、条件(2)も抽象幾何より条件が厳しいことがわかる。

さらに結合幾何の条件(1)(2)だけで抽象幾何を満たすことがわかった。