抽象幾何(abstract geometry)

平面幾何学

2021.03.03 2020.12.21

抽象幾何

\((\mathcal{P},\mathcal{L})\)が抽象幾何であるとは(1)~(3)の3つの条件を満たすもの。

(1)\(\hspace{3mm}|\mathcal{P}|\geq 2\)

(2)\(\hspace{3mm}^{\forall} P,Q \in \mathcal{P} \hspace{2mm}(P \neq Q) \hspace{3mm}^{\exists} l \in \mathcal{L} \hspace{3mm}s.t. \hspace{3mm}P \in l\hspace{2mm} \)かつ\(\hspace{2mm}Q \in l\)

(3)\(\hspace{3mm}^{\forall}l \in \mathcal{L}\)について,\(|l| \geq 2\)

平面幾何の最初のルールなので、めっちゃ緩い。定義についてみていく。

定義の一文目

\((\mathcal{P},\mathcal{L})\)が抽象幾何であるとは…

まず\(　(\mathcal{P},\mathcal{L})　\)についてだが、集合\(\mathcal{P}\)は平面とよび、その要素を点とよぶ。
そして平面の中から点をいくつかチョイスして、直線 \(l\)をつくる。(\(l \subset \mathcal{P} \))。

その直線\(l\)をかき集めてきたものが、集合族\(\mathcal{L}\)となる。

条件(1)

(1)\(\hspace{3mm}|\mathcal{P}|\geq 2\)

「平面上には2点以上用意してくださいね」という意味。

平面と言われて思い浮かべる直交座標では無限に点は存在するが、抽象幾何では2個以上で良い。

条件(2)

\(\hspace{3mm}^{\forall} P,Q \in \mathcal{P} \hspace{2mm}(P \neq Q) \hspace{3mm}^{\exists} l \in \mathcal{L} \hspace{3mm}s.t. \hspace{3mm}P \in l\hspace{2mm} \)かつ\(\hspace{2mm}Q \in l\)

「平面のどの2点をとってきてもその2点を通る直線が引ける。」という意味。

　抽象幾何だと2点だけチョイスして直線と呼ぶこともできるので、
　一見「これが直線？」と思うものもある。