位相におけるコンパクト性

今回は位相においてつまずきが多いコンパクト性について定義を解説する。

まずは定義を確認する。

定義

早速定義の意味を解説する。

開被覆

コンパクトの定義に欠かせない存在が開被覆である。

開被覆について具体的に見ていく。

開被覆の具体例

位相空間\((X,\mathcal{O})\)を\(X=\{桃太郎,爺,婆,犬,猿,キジ,鬼\}\)、\(\mathcal{O}\)を離散位相とする。

そして部分集合\(K\)を\(K=\{犬,猿,キジ\}\)とする。

これで開被覆は何を言っているかというと
「開集合を好きなだけ取ってきて和集合とったら猿、キジ、犬は要素に入れてくださいね。」
ということを要求している。

具体的に見ていく。

ある人は開集合を\(\{桃太郎,犬\},\{猿,キジ,鬼\}\)と選んだとする。
これの和集合を取ると、\(\{桃太郎,犬,猿,キジ,鬼\}\)となり,\(K\subset \{桃太郎,犬,猿,キジ,鬼\}\)となる。

\(K\)を含んでいるので\(\{\{桃太郎,犬\},\{猿,キジ,鬼\}\}\)は\(K\)の開被覆となる。
開被覆の濃度は2なので、これは有限開被覆となる。

　　

ここで押さえておきたいポイントは、位相と同様に開被覆の要素は開集合であることだ。

　　

部分開被覆の例

2人目は開集合を下のように盛りだくさん選んだとする。
\(\{桃太郎\},\{桃太郎,犬\}\{猿,鬼\},\{キジ,爺,婆\},\{猿,キジ,鬼\}\{犬,猿\},\{桃太郎,爺,婆,鬼\}\)

これの和集合を考えると\(\{桃太郎,爺,婆,犬,猿,キジ,鬼\}\)すなわち\(X\)となり、
これは\(K \subset X\)を満たしている。

このことから以下の開集合族は\(K\)の開被覆となる。
\(\{\{桃太郎\},\{桃太郎,犬\}\{猿,鬼\},\{キジ,爺,婆\},\{猿,キジ,鬼\}\{犬,猿\},\{桃太郎,爺,婆,鬼\}\}\)

しかし、\(K\)の開被覆であることを満たしたいのなら\(\{桃太郎\}\)はいらない。

エコにしたい人は2人目の開集合のとり方を見て「以下のようにしたら良いやん」と感じる。
\(\{桃太郎,犬\},\{猿,キジ,鬼\} \hspace{10mm}\)(他にも開集合を2つに絞る方法はある。)

まさにその通りで\(\{\{桃太郎,犬\},\{猿,キジ,鬼\}\}\)は\(K\)の開被覆となる。

2人目の開被覆を\(\mathcal{A_1}\)とおき、エコな考え方の人の開被覆を\(\mathcal{A_2}\)とおく。

すなわち、\(\mathcal{A_1}=\{\{桃太郎\},\{桃太郎,犬\}\{猿,鬼\},\{キジ,爺,婆\},\{猿,キジ,鬼\}\{犬,猿\},\{桃太郎,爺,婆,鬼\}\}\)

\(\mathcal{A_2}=\{\{桃太郎,犬\},\{猿,キジ,鬼\}\}\)と定める。

そうすると、\(\mathcal{A_2}\subset \mathcal{A_1}\)となる。

このような時\(\mathcal{A_2}\)を\(\mathcal{A_1}\)の部分開被覆とよぶ。

コンパクトの再確認

開集合を理解した上でもう一度コンパクトについて考える。

先程は\(K\)についての開被覆を考えたが、コンパクトでは全体集合\(X\)を対象とする。

先程の例でいくと、2人目の開被覆はまさに\(X\)の開被覆になっていた。
( \(\{\{桃太郎\},\{桃太郎,犬\},\{猿,鬼\},\{キジ,爺,婆\},\{猿,キジ,鬼\}\{犬,猿\},\{桃太郎,爺,婆,鬼\}\}\)で
それぞれの開集合全ての和集合をとると、Xになることから言える。)

しかし、その中でもエコな考え方の人は、
「Xについて考えるなら、\(\{桃太郎,爺,婆,鬼\},\{猿,キジ,鬼\}\)でええやん」
とツッコミを入れるだろう。

今は有限集合で考えているから開集合が無限個という事態は起こりえないが、
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)などを考えるときは、開集合を無限個とることができる。
このような場合、Xの開被覆を考えるときに、無限個開集合を持ってくる人がいるかもしれない。
そのような時に
「どんな開集合の選び方をしても、エコな人が捌くと開被覆に必要な開集合を有限個にできる」
というのがコンパクト性である。

次回は実際に無限集合について具体例を用いながらコンパクトであるかどうかをチェックする。