あらすじ
平面幾何は今までこのように条件を付与していった。
抽象幾何→結合幾何(共線的でない3点の存在)→計量幾何(距離関数の登場)
→パッシュ幾何(直線を1本抜くと綺麗に2分される)→分度器幾何(角度の登場)
→中立幾何(三角形の合同条件が使える)
いよいよ私たちが中高と慣れ親しんできた、ユークリッド幾何に迫る。
ユークリッド幾何
前回の中立幾何の時のSASに加え、今回のユークリッド幾何にもEPPという壁が立ち塞がる。
さて、EPPの定義に欠かせない平行について定義する。
平行
実はこの平行という概念には、直線のことしか使ってない。
そのため、この定義は実は中立幾何からはるか遡って、抽象幾何の段階で、定義できる。
最初の直線が等しい時というのは付与的で、
大切な方は直線同士が交点を持たないということが重要だ。
EPP
日本語にすると、
「直線と直線上にない点を好きにとると、点を通る平行な直線がただ1つ存在する。」
ということだ。ユークリッド幾何しか習っていない高校時代からすると、
「え、当たり前のことじゃないの?」と言ってしまいたくなるのだが、
これが、ユークリッド幾何か否かを決める最後の条件となる。
おまけ
これでユークリッド幾何の定義の意味がわかるようになってくれたら嬉しい。
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