あらすじ
平面幾何は今までこのように条件を付与していった。
抽象幾何→結合幾何(共線的でない3点の存在)→計量幾何(距離関数の登場)
→パッシュ幾何(直線を1本抜くと綺麗に2分される)→分度器幾何(角度の登場)
→中立幾何(三角形の合同条件が使える)
いよいよ私たちが中高と慣れ親しんできた、ユークリッド幾何に迫る。
ユークリッド幾何
EPP(ユークリッドの平行線公理)を満たす中立幾何をユークリッド幾何という。
前回の中立幾何の時のSASに加え、今回のユークリッド幾何にもEPPという壁が立ち塞がる。
さて、EPPの定義に欠かせない平行について定義する。
平行
直線\(l_1,l_2\)について、\(l_1=l_2\)または\(l_1\cap l_2=\emptyset\)である時、
\(l_1\)と\(l_2\)は平行であるといい、\(l_1\parallel l_2\)と表す。
実はこの平行という概念には、直線のことしか使ってない。
そのため、この定義は実は中立幾何からはるか遡って、抽象幾何の段階で、定義できる。
最初の直線が等しい時というのは付与的で、
大切な方は直線同士が交点を持たないということが重要だ。
EPP
\(^{\forall }l\in \mathcal{L},^{\forall }P \in \mathcal{P}(P\notin l)\)について、
\(^{\exists_1 }l’ \ni P \hspace{2mm}s.t.\hspace{2mm}l\parallel l’\)日本語にすると、
「直線と直線上にない点を好きにとると、点を通る平行な直線がただ1つ存在する。」
ということだ。ユークリッド幾何しか習っていない高校時代からすると、
「え、当たり前のことじゃないの？」と言ってしまいたくなるのだが、
これが、ユークリッド幾何か否かを決める最後の条件となる。
おまけ
EPP(ユークリッドの平行線公理)を満たす中立幾何をユークリッド幾何という。
これでユークリッド幾何の定義の意味がわかるようになってくれたら嬉しい。
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