集合論

今回は濃度の等号関係を示すのにすごく便利なベルンシュタインの定理について証明する。ベルンシュタインの定理は集合が濃度が等しい2つの集合により包含関係で挟み撃ちにされているならば、その集合も濃度が等しくなるという主張である。直感的に明らかだが、証明はそう簡単にはいかない。

はじめに 集合論と題して、集合の要素の個数という概念を一般化した濃度について学んできた。 今まで驚くべき事実と無限の恐ろしさについて触れてきた。 例えば、自然数と整数の個数が一緒だったり、自然数と有理数の個数が一緒という...

今回は自然数と実数の濃度はどういう関係かを考察する。今までに自然数と整数、自然数と有理数は濃度が一緒という驚くべき事実を手に入れた。そうすると全ての数の無限集合は自然数と一緒なのではないかと思えてくる。そんなことを思いながら自然数と実数の濃度についてみていく。

今回は自然数と有理数の濃度について考察する。前回は自然数と整数の濃度について考察すると、自然数と整数の濃度が等しいという直観からすると衝撃の事実を手に入れた。濃度は集合の包含関係ではなく全単射が存在するかによって決まるので、直観と大きく異なることがある。

前回、無限個の集合の大小比較をするために濃度というものを定義した。濃度というものは集合の包含関係ではなく、全単射で定義していたことが最重要事項でかつ勘違いしやすいポイントだった。今回はそれを用いて自然数と整数の濃度が等しいという驚くべき事実を証明する。

今回は集合論の中で重要な概念、濃度について定義する。個数という考え方は元が有限個の集合、すなわち有限集合の時にはとても便利である。しかしながら無限集合の代償比較をする時には使うことができない。そこで生まれたのが濃度である。

集合論の続きとして、写像を定義する。写像とは2つの集合同士を紐付けるいわば架け橋のようなものである。高校までの内容で習った関数の一般化でもある写像をこの記事で定義していく。また、写像において重要な特徴である単射、全射についても例を用いながら解説する。

前回は「集合論　イントロダクション」と題して高校内容の「集合と命題」の集合について復習と+αを学んだ。今回は前回に続き、「集合と命題」の命題についての復習と+αを学習する。それに関連して、命題とその対偶の真偽は一致することの証明もする。

学部初年度の時に多くの大学で習う集合論について解説する。高校の時の集合と論理という単元は正直三角関数や微分積分、確率などに比べると影の薄い単元だったかもしれない。しかしながら驚くべきことに集合論というものはこの現代数学の基礎を作っている。今回からこの集合論を始める。