道連結ならば連結

位相幾何学

2021.03.04 2021.01.28

あらすじ

前回は道連結の定義と道連結ならば連結という定理に必要な補題を証明した。
(詳しくは位相における道連結)

今回はいよいよ道連結ならば連結という定理について証明していく。

定理

\((X,\mathcal{O})\)を位相空間とする。

\((X,\mathcal{O})\)が道連結(弧状連結)ならば、連結。

連結と道連結の定義はそれぞれ以下のようであった。

位相における連結

\((X,\mathcal{O})\)を位相空間とする。

\((X,\mathcal{O})\)が連結であるとは、以下の条件を満たすこと。

\(O_1,O_2 \in \mathcal{O} \)について\(O_1\cup O_2=X, O_1 \cap O_2 = \emptyset \Rightarrow O_1=\emptyset \hspace{2mm} or \hspace{2mm} O_2=\emptyset\)

道連結

\((X,\mathcal{O})\)を位相空間とする。

\((X,\mathcal{O})\)が道連結(弧状連結)であるとは以下の条件を満たすこと。

\(^{\forall}x_0,x_1 \in X\)について\(^{\exists}\alpha :I \rightarrow X\)(連続写像)\(\hspace{2mm}s.t.\hspace{2mm}\alpha (0)=x_0\hspace{2mm},\hspace{2mm} \alpha (1)=x_1\)

この\(\alpha \)を\(x_0\)から\(x_1\)への道とよぶ。\(\hspace{3mm}\alpha (0)\)を\(\alpha \)の始点、\(\alpha (1)\)を\(\alpha\)の終点とよぶ。

そして定理に必要な補題として以下を証明した。(詳しくは位相における道連結)

補題1)連続写像の像の連結性

\((X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y)\)を位相空間とし、連続写像\(f:X \rightarrow Y\)を考える。

\(X\)が連結ならば、\(f(X)\)も連結

補題2) ユークリッド距離空間\((\mathbb{R},d)\)を考える。

任意の区間\([a,b]\)は連結。

今回はこの補題を用いながら道連結ならば連結であることを示す。

証明

定理

\((X,\mathcal{O})\)を位相空間とする。

\((X,\mathcal{O})\)が道連結(弧状連結)ならば、連結。

(証明)

非連結を仮定し、背理法で示す。

この時、\(^{\exists} U,V \in \mathcal{O}(U \neq \emptyset ,V \neq \emptyset ) \hspace{2mm}s.t.\hspace{2mm}U\cup V=X,U \cap V =\emptyset \hspace{2mm}\)が仮定。

道連結であるから、\(x\in U ,y \in V \)について連続写像\(\alpha:[0,1]\rightarrow X\)が存在して\( \alpha(x)=0,\alpha(y)=1\)を満たす。

補題2)より閉区間\([0,1]\)は連結であり、補題1)より\(\alpha([0,1])\)という像も連結。

\(U \cap V =\emptyset\)より\(\hspace{2mm}(U \cap \alpha([0,1]) ) \cap (V \cap \alpha([0,1])) =\emptyset\)
さらに\(U\cup V=X\)であるから\((U \cap \alpha([0,1]) ) \cup (V \cap \alpha([0,1])) =\alpha([0,1])\)

しかし、\(\alpha([0,1])\)は連結であるから、\(U \cap \alpha([0,1])=\emptyset \)\(V \cap \alpha([0,1])=\emptyset\)。

これは、\(x\in U ,y \in V \)であることに矛盾。

よって道連結ならば、連結ということが示された。