位相(実数)

位相の定義を確認したい人はこちら。(位相)

定義を復習しておくと以下のようになる。

位相

\(\mathcal{O}\)は集合\(X\)の部分集合族とする。
このとき、\(\mathcal{O}\)が位相であるとは、次の条件を満たすもの。

(1)\( \emptyset ,X \in \mathcal{O}\)

(2)\(^{\forall}O_1,O_2 \in \mathcal{O}\)について\(O_1 \cap O_2 \in \mathcal{O}\)

(3)\(^{\forall}\{O_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda} \subset \mathcal{O}\)について\( \cup_{\lambda \in \Lambda} O_\lambda \in \mathcal{O}\)

このとき、位相\(\mathcal{O}\)の元をXの開集合とよぶ。

定義について意味がわからない人はこちら。(位相)
また、具体例を用いて深めたい人はこちら。(位相　具体例)

さてこの位相の定義をもとに実数でどのように定めたら良いか理解を深めていく。

実数\(\mathbb{R}\)

今回全体集合Xに対応するのは、実数の全体集合\(\mathbb{R}\)となる。
また、試しに\(\mathcal{O}=\{(a,b)|a,b\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\},\hspace{3mm }a\leq b\}\)が位相になるかを確認していく。

この\(\mathcal{O}\)は位相の要素は部分集合であることを踏まえて意味を確認すると、
これは「全ての開区間を位相の要素としましょう。」という意味。

ではこれが、位相になっているかをチェックしよう。

(1)\( \emptyset ,X \in \mathcal{O}\)

(1)は全体集合と空集合が位相に入っているかのチェック。
今回の\(\mathcal{O}\)は\((-\infty ,+\infty)\)が全体集合となる。

また、\(a\leq b \)より\(a=1,b=1\)としてよい。
しかし\((1,1)\)という区間は要素がないので、空集合となる。

よって今回の\(\mathcal{O}\)は(1)を満たす。

(2)\(^{\forall}O_1,O_2 \in \mathcal{O}\)について\(O_1 \cap O_2 \in \mathcal{O}\)

(2)では\(\mathcal{O}\)から部分集合を任意に2つ持ってきてその交わりが\(\mathcal{O}\)に入っていることを確認する。

１つ試してみよう。今回の位相から開区間(1,4),(2,5)をもってきたとする。
この交わりを確認すると、(2,4)となっていてこれも開区間となっているので、位相の要素である。
これをイメージしながら以下の証明をみてほしい。

(証明)
(i)とってきた集合のどちらかが空集合\(\emptyset\)であるとき
もう片方がどんな\(\mathcal{O}\)の要素\(A\)であれ、\(A \cap \emptyset =\emptyset \)となる。
\(\emptyset \)は\(\mathcal{O}\)に入っているのでOK.

(ii)とってきた集合のどちらかが全体集合\(\mathbb{R}\)であるとき
もう片方がどんな位相の要素\(A\)であれ、\(A \cap \mathbb{R} =A\)となる。
\(A\)は\(\mathcal{O}\)に入っているのでOK.

(iii)とってきた集合がどちらも開区間であるとき
\((a,b),(c,d)\)とすると\((a,b) \cap (c,d)=(max\{a,c\},min\{b,d\})\)となる。
これは開区間となっているので、\(\mathcal{O}\)に入っている。これよりOK.

\(max\{a,c\}\)はaとcを比べて大きい方、\(min\{b,d\}\)はbとdの小さい方の意味。

(i)(ii)(iii)より今回の位相は(2)の条件を満たす。

(3)\(^{\forall}\{O_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda} \subset \mathcal{O}\)について\( \cup_{\lambda \in \Lambda} O_\lambda \in \mathcal{O}\)

(3)では\(\mathcal{O}\)から要素を任意にとってくるとその和集合も\(\mathcal{O}\)に入っているかを確認する。

2つ試してみよう。今回の位相から\(\emptyset\),\((1,5),(2,7),(6,20)\)をとってきた和集合を考える。
\(\emptyset \cup (1,5)\cup (2,7)\cup (6,20) =(1,20)\)となる。
これは、\(\mathcal{O}\)に入っているのでOK.

2つ目として\((1,5),(2,7),(10,20)\)をとってきた和集合を考える。
\((1,5)\cup (2,7)\cup (10,20) =(1,7)\cup (10,20)\)となる。

しかしこれは\(\mathcal{O}\)には入っていない。
なぜなら、\(\mathcal{O}\)は1つの開区間は容認しているが、2つの開区間は容認していないからだ。

というわけで\(\mathcal{O}\)は位相ではないことがわかった。