自然数と有理数の濃度

はじめに

今回の大きな流れとしては、

「個数の一般化、濃度を用いて無限集合について比較していく」ことだった。

前回はこの自然数と整数の濃度が等しいという直観とは大きく異なる事実を手に入れた。
(詳しくは自然数と整数の濃度)

誤解を恐れずにいうと、自然数の個数と整数の個数は一緒という驚くべき事実だった。

このように無限を扱うには十分に注意が必要で、直観とは大きく異なる。

さて、今回は自然数と有理数の濃度を比較していく。

濃度の復習

同値関係や同値類など難しい言葉が並んでいるが、
ざっくり説明すると、「全単射が1つでも存在したら、濃度は等しいとする」ということである。

もう一度念押しすると、濃度は集合の包含関係ではなく、全単射の存在で定義している。

だから濃度が等しいということを示したい時は、全単射を1つでも見つければよい。

自然数と有理数の濃度

いよいよ自然数と有理数の濃度について考える。

これも直観では、「自然数は有理数に含まれているんだから有理数の方が大きいでしょ」
と言いたくなる。

しかしながら濃度の議論をするときにこのような集合の包含関係の話は通用しない。

なぜなら濃度は集合の包含関係ではなく、全単射の存在で定義しているからだ。

では、本当に有理数の濃度の方が大きいのかを考えてみる。

まず、自然数と正の有理数について濃度を考察する。

自然数と正の有理数の濃度

しつこいかもしれないが、濃度は全単射が見つかるかどうかに全てがかかっている。

実は次のように\(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}_+\)を\(f(1),f(2),f(3)\cdots \)と定めると、全単射になる。

のように正の有理数を並べて、既約分数以外は排除しておく。

そして次のように\(f(1),f(2),f(3)\cdots \)を定めていく。

手書きで申し訳ありませんが、このように定めると、全単射が存在する。

これによって、\(|\mathbb{N}|=|\mathbb{Q}_+| \)ということがわかった。

つまり自然数と正の有理数の濃度が等しいという驚くべき事実がわかった。

ではいよいよ自然数と有理数の濃度が等しいことを示していく。

自然数と有理数の濃度

先程自然数と正の有理数の濃度が等しいことを示した。

これから\(\mathbb{Q}\)について考えていくが、ここで有理数に一工夫加える。

\(\mathbb{Q}=\{0\}\cup \mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Q}_-\)という見方をする。

これは有理数を正の部分と負の部分、あと0に分解する。

このように考えると、実は前回用いた自然数と整数の濃度についての考え方が使える。
(詳しくは自然数と整数の濃度)

まず、1を0に対応させて、偶数に正の有理数、3以上の奇数に負の有理数を
先程の順番に対応づけていく。

そうすると全単射を作ることができる。

このようにすると、自然数と有理数の濃度が等しいという衝撃の事実がわかる。

終わりに

今回は絵を用いたり、全単射の対応づけを文章で書いたりかなり直観に任せた議論をしていた。

正確に頑張ろうとすると、ベルンシュタインの定理や選択公理という前提があると便利になる。

今後はこのようなことにも触れていき、自然数と有理数の濃度part2を作りたいと考えている。

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