コンパクト性と連続

あらすじ

ハウスドルフ性など性質を見つけた時は、連続という概念とどう結びついているのかが気になる。

これは位相の性質かどうか、すなわち同相な空間全てで言えることなのかということを
確認するためにすごく重要になる。

コンパクトの定義は以下のようであった。

さて、コンパクトと連続について思い浮かぶ予想としては以下のことが浮かぶ。

今回はこの予想について考えていく。

予想(1)

これは、極端な例を考えると、すぐにそうではないことがわかる。

\(X={1},Y=\mathbb{R}\)で\(X\)に密着位相、\(Y\)に通常の位相を入れておく。

そして、\(f(1)=1\)としておけば、どんな\(Y\)上の開集合\(O\)も
1が含まれていれば、\(f^{-1}(O)=X\)、1が含まれていなかったら\(f^{-1}(O)=\emptyset\)となる。
これより\(f\)は連続である。

しかし、Xは有限集合でありコンパクトだが、Yはコンパクトでないので、反例となる。

こんな感じで、明らかに\(X\)が小さい場合を出したらこの例は成り立たないことがわかる。
では、全射だったらどうだろうか。

予想(1)+全射

\((Y,\mathcal{O}_Y)\)がコンパクトであるかを知りたいので
１手目は好きに\(Y\)の開被覆\(\{O_\lambda |\lambda \in \Lambda \}\)を選ぶことだ。

\(Y\)上では打つてなしなので\(X\)上に話を移す。

Yの開被覆であるから\(\cup_{\lambda \in \Lambda}O_\lambda=Y\)となる。
これより次のことがわかる。\(X=f^{-1}(Y)=f^{-1}(\cup_{\lambda \in \Lambda}O_\lambda)=\cup_{\lambda \in \Lambda}f^{-1}(O_\lambda )\)

\(f\)は連続であるから\(^{\forall}O_\lambda \in \{O_\lambda | \lambda \in \Lambda \}\)について\(f^{-1}(O_\lambda ) \)は\(X\)で開集合となる。

さて、\(X=\cup_{\lambda \in \Lambda}f^{-1}(O_\lambda )\)が\((X,\mathcal{O}_X)\)がコンパクトであることを思い出すと、
\(\{f^{-1}(O_\lambda )|\lambda \in \Lambda \}\)は有限部分開被覆\(\{f^{-1}(O_i )|i =1,2,3,\cdots ,n\}\)を持つ。

さて\(\{f^{-1}(O_i )|i =1,2,3,\cdots ,n\}\)は\(X\)の開被覆であるから、\(X= \cup_{i =1,2,3,\cdots ,n}f^{-1}(O_i )\)を満たす。

そして、\(f\)が全射であることを思い出すと、\(f(X)=Y\)すなわち,\(f(\cup_{i =1,2,3,\cdots ,n}f^{-1}(O_i ))=\cup_{i =1,2,3,\cdots ,n}f(f^{-1}(O_i ))=\cup_{i =1,2,3,\cdots ,n}(O_i )=Y\)
(注意!　\(f(f^{-1}(O))=O\)は一般に言えない。今回は全射だから言える。)

これより\(\cup_{i =1,2,3,\cdots ,n}(O_i )=Y\)となる有限部分開被覆が見つかった。

したがって\((Y,\mathcal{O}_Y)\)はコンパクトである。

おまけ

今回わかったことはコンパクトを\(X\)から\(Y\)に伝えるには、連続に加え、全射性が必要だということだ。

次回は\(Y\)から\(X\)にコンパクト性を伝えるにはということを考える。

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