はじめに
私は大学2年生のときに，初めて群というものを習った．
抽象的な定義に「これが何の役に立つの？」と思わず首をかしげた．
しかしながら，この基本群を習ったときに「こんなところに群があるのか！」と驚いた．
今回はこの基本群について説明していく．
位相空間の復習
私たちの感覚では道というのは，歩いてきたその足跡のようなものとして捉える．
しかしながら位相空間論における道の定義は写像であった．
\((X,\mathcal{O})\)を位相空間とする。
\(^{\forall}x_0,x_1 \in X\)について\(^{\exists}\alpha \colon I \rightarrow X\)(連続写像)\(\hspace{2mm}s.t.\hspace{2mm}\alpha (0)=x_0\hspace{2mm},\hspace{2mm} \alpha (1)=x_1\)
この\(\alpha \)を\(x_0\)から\(x_1\)への道とよぶ。\(\hspace{3mm}\alpha (0)\)を\(\alpha \)の始点、\(\alpha (1)\)を\(\alpha\)の終点とよぶ。
基本群の定義
基本群に欠かせないループを定義する．
\((X,\mathcal{O})\)を位相空間とする。
\(^{\forall}x_0 \in X\)について\(x_0\)から\(x_0\)への道を\(x_0\) を基点とするループとよぶ。
つまり始点も終点も一緒の道をループと呼ぶ．
実はこの元を全部集めた集合にちょこっと工夫をすると群になる．
\((X,\mathcal{O})\) を位相空間とする。
\(^{\forall}x_0 \in X\) について\(x_0\) の基本群\(\pi_1(X,x_0)\)とは
\(\pi_1(X,x_0):=\{ \alpha \mid \alpha はx_0 を基点とするループ\}/_{\simeq_p}\)のことである．
この定義を見ると，「基本群ってループを集めたものなのね．」とおおよそわかる．
しかしながらよくよく見ると\( \simeq_p\) という謎のマークがついているのがわかる．
これは道ホモトピーという同値関係だ．
難しいことは後回しにして今は
「連続変形できるものは同じものとみなしましょう」と思っていただいたら大丈夫である．
これでも分かりにくいと思うので解説する．
基本群の例
こんな風にドーナツの上にループを考える．
例えば \(A\) と \(B\) は別のループだが，
\(A\)のループをスルスルと手繰り寄せると\(B\) に変形することができる．
このように「連続変形できるものは同じものとみなしましょう」
というのが基本群の元でのルールだ．
ここで\(C\) について確認してみる．
すると，\(C\) をスルスルと手繰り寄せてもドーナツが引っかかって
\(A,B\)には連続変形できない．
このことから\(C\) は違う元として取り扱う．
終わりに
ここでは基本群の定義を直観的に説明した．
しかしながらまだ疑問はいくつか残る．
例えば「基本群はどうして群になるのか？」や「途中で出てきた道ホモトピーとは？」
「そもそもなんで基本群なんか考えるの？」など色々あげられる．
このことについては次回以降解説する．
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