位相幾何学

位相の表記について質問をいただきました．位相空間論では開集合のOと位相のOの表記が違うというところを省略して説明してしまったため，混乱を招くとのご指摘をいただきました．ありがとうございます．

はじめに 基本群の定義は以下のようなものであった．(詳しくは基本群とは何か？) 基本群 を位相空間とする。 について の基本群とは のことである． ざっくり言うと「基本群の元はループ．...

基本群の説明を前回の「基本群とは何か？」という記事で説明した．今回はそもそもなぜ基本群を考えるのか？というテーマで解説する．「数学って何の役に立つの？」という言葉は聞き飽きるほど聞いてきたが，その裏側にはきっと「モチベーションを高めたい」という意識があるのではないだろうか．今回基本群をなぜ考えるのかというテーマで基本群を勉強するモチベーションを高めることができたら幸いである．

基本群とは何かという定義を直観的に説明する．厳密な定義よりもまずは直観をしっかり掴んでから厳密な定義に向き合うことでより理解が深まるという思いから投稿した．今後としては基本群はどうして群になるのか，そもそも基本群をなぜ考えるのかなどの疑問に答えていく．

幾何学の中では、集合から始まり位相空間というものを考え、そこから多様体というものを考える多様体論という分野が存在する。その多様体とは何かについてストーリーを踏まえながらみていこうということが今回のテーマである。

ある1点を含む集合を全て開集合とする位相を定めるとコンパクトであるかどうかを確かめる問題。有限集合の時はコンパクトであるので、位相がどうであろうといいのだが、無限集合の時、この位相は果たしてコンパクトになるのだろうかという疑問を解説する。

有理数全体の集合にどのように位相を与えれば、その位相空間がコンパクトになるのかという問題。その問題についてコンパクトである例とコンパクトでない例を共に解説する。

今回は、位相空間がコンパクトならば、部分集合が閉集合ならば、その部分空間もコンパクトであるという証明を解説している。コンパクトの定義と相対位相の復習もしているので、コンパクトという概念が掴み切れていない方や相対位相を使った問題に慣れていない方にオススメしたい。

部分集合が開集合かつ閉集合ならば、その境界は空集合であることを示せという問題。 境界の定義から解説。